¿Son las matemáticas perfectas?

Cuando un compañero me dijo que las matemáticas son 'ortodoxas' y 'perfectas', me causó gracia, ya que el término 'ortodoxo' se usa en contextos religiosos, culturales o filosóficos para referirse a creencias y prácticas que se consideran correctas. Por lo tanto, tal comparación no tiene mucho sentido. La única manera de argumentar es la supuesta perfección que poseen las matemáticas. Esto me preocupó cuando, al preguntar a otras personas, ellas opinaban de la misma manera.

Por eso, en esta entrada intentaré ser lo más claro posible para que todos puedan entender por qué ese argumento es incorrecto.

Incertidumbre

Sé que prometí que la 'Incertidumbre' merecía su propia entrada, pero tendré que usarla en esta ocasión ya que tiene demasiada relación con lo que quiero explicar, recordemos que la incertidumbre en la medición significa la falta de validez del resultado en una medida; me explico: 

  Si tomamos una regla, cuyo sistema mínimo de medida es el milímetro y medimos un objeto que a simple vista parece medir 3.1 cm

al acercarnos mas veremos que el sistema de milímetros no es completamente preciso y que tenemos números que no estamos registrando: 3.1...? 

Entonces la medida que estamos obteniendo 3.1 cm, es la proximidad entre el valor medido y el valor real, esto se debe a que los instrumentos de medición (en este caso regla) siempre tendrán margen de error al medir. Para dar una medida mas precisa tenemos que hacer uso de la incertidumbre y abarcar el parámetro de error, para este caso: 3.1cm +/- 1mm 

Esto quiere decir que nuestra medida tiene margen de error de mas/menos un milímetro, ya que es la unidad mínima de medida para la regla y el valor real se encuentra dentro de este parámetro. Creo que empezamos a notar que nuestro sistemas por mas complejos que sean tienen errores y eso que la incertidumbre de medición es fácil de entender, por tanto la mas sencilla.

El principio de incertidumbre de Heisenberg, en la mecánica cuántica, también desafía la idea de que las matemáticas son herramientas perfectas para describir el mundo físico. Según este principio, es imposible conocer con precisión absoluta tanto la posición como la velocidad de una partícula subatómica; a medida que intentamos medir una propiedad con más exactitud, aumenta la incertidumbre en la otra.

Lo cual revela una limitación matemática y física en la descripción de la realidad: el mundo subatómico no puede ser modelado con certeza absoluta, sino solo en términos de probabilidades. Las matemáticas, en este contexto, no logran describir todos los detalles de la realidad, sino solo su comportamiento probable. Así, la incertidumbre cuántica introduce una "imperfección" en la capacidad de las matemáticas para ofrecer descripciones completas y precisas del universo.

Teoría del caos

Quizás has escuchado del llamado "efecto mariposa". En 1961, el meteorólogo Edward Lorenz trabajaba en un modelo matemático para pronosticar el estado del tiempo. La computadora que usaba registraba datos como la temperatura y presión, los cuales se procesaban para graficar una predicción climática. En un momento, Lorenz decidió repetir una simulación anterior; sin embargo, al ingresar los datos de manera manual, solo utilizó tres decimales en lugar de seis (por ejemplo, 0.506 en lugar de 0.506127), suponiendo que esa diferencia mínima no tendría ningún impacto.

Para su sorpresa, el gráfico resultante cambió significativamente. La simulación, que al inicio coincidía con los datos originales, pronto empezó a desviarse de manera dramática, hasta producir resultados completamente distintos. Esto mostró cómo pequeñas variaciones en las condiciones iniciales podían llevar a resultados radicalmente diferentes en sistemas complejos. Lorenz ilustró esta idea con una imagen visualmente poderosa: el aleteo de una mariposa en Brasil podría desencadenar, a través de una serie de efectos en cadena, un tornado en Texas.

La teoría del caos es uno de los campos que desafía la noción de perfección en las matemáticas. En sistemas caóticos, como el clima o los ecosistemas, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados completamente diferentes. Este fenómeno, conocido como el efecto mariposa, implica que incluso los sistemas deterministas y regidos por leyes exactas pueden ser impredecibles a largo plazo. “Cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro.” Edward N. Lorenz, en "Deterministic Nonperiodic Flow" (1963)

Los modelos matemáticos en estos sistemas solo pueden ofrecer aproximaciones, pues no hay manera de medir con precisión infinita las condiciones iniciales de un sistema real. A medida que las variables se desplazan en el tiempo, los errores y la incertidumbre se amplifican, revelando una limitación en la exactitud matemática. La teoría del caos, entonces, demuestra que, en sistemas complejos, las matemáticas no pueden predecir resultados con exactitud absoluta, sino que nos proporcionan una aproximación de tendencias y comportamientos probables.  

¿Qué es la perfección en matemáticas?

La perfección, como concepto, implica algo inmutable, sin errores ni incertidumbre. Desde un punto de vista matemático, esto supondría un sistema completamente coherente y libre de contradicciones que pueda explicar y predecir cualquier aspecto de la realidad con exactitud. Pero, ¿realmente cumplen las matemáticas con este ideal? 

La realidad es que, si bien se sustentan en estructuras lógicas y consistentes, las matemáticas no son inmunes a la incertidumbre, la falta de exactitud o la posibilidad de ser reinterpretadas. Las complejidades y limitaciones intrínsecas (algo que es propio o esencial de una cosa o de alguien) de las matemáticas nos muestran que su naturaleza es mucho más flexible e inexacta de lo que parece a primera vista. 

Pero a principios de la década de 1920 el matemático alemán David Hilbert creía que esto era posible y creo un programa a partir del cual intentaría encontrar un conjunto consistente de axiomas del que se pudieran derivar todas las verdades matemáticas de forma consistente, sin embargo en 1928 Hilbert dio una conferencia donde conto este proyecto sin saber que en el público había un joven  austrohúngaro llamado Kurt Gödel que al escuchar la idea destruiría el sueño de Hilbert 3 años después. 

Axiomas 

Antes de continuar, me gustaría explicar qué es un axioma. Aunque pueda sorprender, los matemáticos también ejercen una especie de “fe”, pero no en una religión, sino en ciertos principios fundamentales que sostienen toda la estructura de las matemáticas. Los axiomas son esas verdades básicas aceptadas sin demostración, sobre las que se construye el resto de la ciencia matemática.

Esta idea de basar las matemáticas en un sistema axiomático fue realizada por Euclides, con 5 axiomas que dieron nombre a la disciplina Geometría Euclidiana. Pero... ¿Por qué son necesarias?

Para demostrar algo en matemáticas se necesitan referencias, por ejemplo: 

(a+b)+c=a+(b+c)

esta propiedad puede ser demostrada a partir de los axiomas de la adición:  

A1.1 Para todo ${\displaystyle x,y\in \mathbb{R}}$, existe un único elemento, también en ${\displaystyle \mathbb{R}}$, denotado por ${\displaystyle \mathit{x}+\mathit{y}}$ que llamamos la suma de ${\displaystyle \mathit{x}}$ e ${\displaystyle \mathit{y}}$.

A1.2 ${\displaystyle \mathit{x}+\mathit{y}=\mathit{y}+\mathit{x}}$ para todo ${\displaystyle x,y\in \mathbb{R}}$.

A1.3 ${\displaystyle (\mathit{x}+\mathit{y})+\mathit{z}=\mathit{x}+(\mathit{y}+\mathit{z})}$ para todo ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb{R}}$.

A1.4 Existe un elemento de ${\displaystyle \mathbb{R}}$, denotado por ${\displaystyle 0}$ tal que ${\displaystyle \mathit{x}+0=\mathit{x}}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb{R}}$.

A1.5 Para cada ${\displaystyle x\in \mathbb{R}}$ existe un ${\displaystyle y\in \mathbb{R}}$ tal que ${\displaystyle \mathit{x}+\mathit{y}=0}$

Por lo tanto como todo se tiene que argumentar, se necesitaban unos principios que se acepten sin cuestionarlos para poder llegar a verdades mas complejas como los teoremas. Por lo que la matemática esta condenada a basarse en principios que pueden o no ser ciertos. Es aquí donde entra en juego la imaginación ya que los matemáticos no atan sus principios a la realidad, ya que pueden crear su propia realidad y como ejemplo tenemos la Geometría no euclidiana  que parten de principios que van en contra de nuestra intuición de la realidad.

Kurt Gödel: Las matemáticas no son un sistema cerrado

El matemático austrohúngaro demostró justo lo que acabo de explicar, que cualquier sistema axiomático lo suficientemente fuerte como para incluir la aritmética básica va a incluir al menos un enunciado que es verdadero pero no demostrable en ese sistema, con sus teoremas de incompletitud, Gödel demostró que cualquier sistema matemático lo suficientemente complejo contiene proposiciones que no pueden ser demostradas ni refutadas dentro de ese sistema. Esto implica que en cualquier sistema formal existen verdades que no pueden ser establecidas exclusivamente mediante sus reglas.

La demostración de Gödel cambió nuestra percepción de las matemáticas, revelando que no son un sistema cerrado de verdades absolutas, sino un campo dinámico en constante expansión. Estos teoremas evidencian que las matemáticas, lejos de ser perfectas, son inherentemente incompletas, y que siempre habrá afirmaciones dentro del sistema que no pueden resolverse sin recurrir a axiomas externos o a un sistema más amplio. ¿Cómo lo hizo? con una frase:

"Esta proposición no es demostrable"

                                           Frase Gödel (G)

Es verdadera? Si la proposición es verdadera, entonces, por definición, no puede ser demostrada en el sistema (lo que hace que sea verdadera pero indemostrable). Si la proposición es falsa, entonces no puede ser cierta, lo cual generaría una contradicción.

Es demostrable? por lo tanto no es demostrable 

Para entenderlo un poco mejor, voy a usar otra frase similar:

"Esta oración es falsa"

si es verdad entonces la declaración es falsa, pero si es falso la declaración es verdadera. Lo cual resulta en una paradoja.

Entonces demuestra que todo sistema axiomático tiene sus fallas,  pero su frase es una autorreferencia y en el mundo de las matemáticas no existe tal cosa como las autorreferencias por lo que desarrollo un modo de codificar proposiciones matemáticas con números, creando pues el número de Gödel:

A partir de esto pudo demostrar matemáticamente esa autorreferencia,  con lo cual  sepulto el trabajo de David Hilbert y junto con el sus sueños de un sistema axiomático completo, consistente y decidible. 

Conclusiones

La idea de que las matemáticas son perfectas surge, en parte, de cómo se enseñan en los niveles básicos y medios. En estos niveles, los estudiantes aprenden métodos y fórmulas que conducen a respuestas exactas y verificables, creando la impresión de que las matemáticas son un sistema cerrado en el que siempre hay una única respuesta correcta. Este enfoque deja fuera la exposición a teorías avanzadas que revelarían una visión más flexible y dinámica de esta disciplina. Entiendo, entonces, que muchas personas tengan esta idea errónea, y por eso me propuse escribir esta entrada de manera accesible, evitando saturarla con información numérica o matemática excesiva para no aburrir, y centrándome en definiciones concretas.

Las matemáticas son una herramienta poderosa y fundamental para la ciencia y la tecnología, pero tienen límites y no son la representación de un sistema perfecto o absolutamente exacto. La teoría del caos, el principio de incertidumbre y el teorema de incompletitud de Gödel revelan que las matemáticas contienen incertidumbre, complejidad y limitaciones, especialmente cuando se aplican a fenómenos naturales y sistemas complejos. Más que un sistema ortodoxo o rígido, las matemáticas son un campo en constante cambio, donde el cuestionamiento y la creatividad son esenciales. La "perfección" en matemáticas es, en última instancia, un ideal teórico más que una realidad alcanzable. Y es precisamente esta imperfección y flexibilidad lo que permite que las matemáticas sigan siendo una herramienta abierta, en evolución y, por tanto, sorprendente. "Si quieres ser un verdadero buscador de la verdad, es necesario que al menos una vez en tu vida dudes, en la medida de lo posible, de todas las cosas." - Réne Descartes 

Bibliografía

Ricardo, D. S. (s. f.). Los teoremas de incompletitud de Gödel, teoría de conjuntos y el programa de David Hilbert. https://ve.scielo.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0798-43242014000100002

Sé Curioso — TED-Ed. (2023, 22 noviembre). La paradoja en el corazón de las matemáticas: el Teorema de Incompletitud de Gödel [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=S2uzs011HpM

De Guzmán Ozámiz, M. (1989). Caos matemático, ¿una revolución científica?: sobre «Caos. La creación de una nueva ciencia» de James Gleick. Saber Leer, 24, 12. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2134435

Hersh, Reuben (1997). What Is Mathematics, Really? Oxford University Press. 

Gödel, Kurt (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I.

Andre Vergara Ross. (2021, 21 mayo). El teorema de Gödel [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=ed4thpHI1k8